1. Lôgic của các đường đồng mức

Một hàm hai biến $f(x, y)$ ánh xạ một điểm trong mặt phẳng $\mathbb{R}^2$ đến độ cao $z$. Chúng ta hiểu điều này thông qua đường đồng mức, được định nghĩa là:

Các đường đồng mức của một hàm $f$ hai biến là các đường cong có phương trình $f(x, y) = k$, với $k$ là hằng số trong miền giá trị của $f$.

2. Chiều cao hơn: Mặt đồng mức

Một hàm ba biến gán một số $z = f(x, y, z)$ cho một bộ ba có thứ tự. Vì chúng ta không thể vẽ đồ thị trong không gian 4D, nên ta dùng mặt đồng mức:

$$f(x, y, z) = k$$

Ví dụ, hàm $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$ tạo ra một họ các mặt cầu đồng tâm làm mặt đồng mức của nó. Ngược lại, hãy lưu ý đến Giới hạn biểu diễn: một hình cầu toàn bộ không thể được biểu diễn bằng một hàm duy nhất của $x$ và $y$. Chúng ta phải dùng các định nghĩa từng phần như $g(x, y) = \sqrt{9 - x^2 - y^2}$ (bán cầu trên) và $h(x, y) = -\sqrt{9 - x^2 - y^2}$ (bán cầu dưới).

3. Cấu trúc trực quan nâng cao

Việc trực quan hóa là nền tảng cho các thao tác cốt lõi của giải tích đa biến:

• Tuyến tính hóa: Hàm $L$ là tuyến tính hóa của $f$ tại điểm $(a, b)$, và phép xấp xỉ $f(x, y) \approx L(x, y)$ là cách diễn giải hình học của mặt tiếp tuyến.
• Đạo hàm hướng: Biểu diễn dưới dạng $D_{\mathbf{u}} f(x_0, y_0, z_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + ha, y_0 + hb, z_0 + hc) - f(x_0, y_0, z_0)}{h}$. Đây chính là "độ dốc" của bề mặt theo hướng $\mathbf{u}$.
• Gradient ($\nabla f$): Người ta đã chứng minh rằng $D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = |\nabla f| \cos \theta$. Gradient luôn vuông góc với các đường đồng mức, chỉ về hướng tăng mạnh nhất ($\theta=0$).